Hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 8 (sách Cánh Diều), thuộc chương 1: Đa thức nhiều biến. Các hằng đẳng thức giúp đơn giản hóa việc giải các bài toán đại số, nhân đa thức, phân tích đa thức, và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này trình bày chi tiết, dễ hiểu và đúng trọng tâm về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, kèm ví dụ và bài tập áp dụng, phù hợp với học sinh lớp 8.
Hằng đẳng thức là gì?
Định nghĩa:
Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của các biến số trong nó. Nghĩa là, hai vế của đẳng thức luôn bằng nhau bất kể giá trị của biến thay đổi.
Ví dụ:
- ( a + b = b + a ) là một hằng đẳng thức (luôn đúng với mọi ( a, b )).
- ( a^2 – 1 = 3a ) không phải hằng đẳng thức vì chỉ đúng với một số giá trị cụ thể của ( a ).
Trong Toán 8 (Cánh Diều), có 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà học sinh cần nắm vững. Dưới đây là chi tiết từng hằng đẳng thức, kèm cách chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng
Công thức:
[ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ]
Chứng minh:
Áp dụng phép nhân đa thức:
[ (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2. ]
Ý nghĩa:
Bình phương của một tổng bằng tổng các bình phương của từng số hạng cộng với gấp đôi tích của chúng.
Ví dụ minh họa:
Tính ( 101^2 ).
[ 101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201. ]
Bài tập áp dụng:
Viết ( 4x^2 + 4x + 1 ) dưới dạng bình phương của một tổng.
Lời giải:
Nhận thấy ( 4x^2 = (2x)^2 ), ( 4x = 2 \cdot 2x \cdot 1 ), ( 1 = 1^2 ).
Do đó:
[ 4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2. ]
2. Bình phương của một hiệu
Công thức:
[ (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 ]
Chứng minh:
[ (A – B)^2 = (A – B)(A – B) = A(A – B) – B(A – B) = A^2 – AB – BA + B^2 = A^2 – 2AB + B^2. ]
Ý nghĩa:
Bình phương của một hiệu bằng tổng các bình phương trừ đi gấp đôi tích của các số hạng.
Ví dụ minh họa:
Tính ( 99^2 ).
[ 99^2 = (100 – 1)^2 = 100^2 – 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 – 200 + 1 = 9801. ]
Bài tập áp dụng:
Viết ( y^2 – 6y + 9 ) dưới dạng bình phương của một hiệu.
Lời giải:
Nhận thấy ( y^2 = y^2 ), ( 6y = 2 \cdot y \cdot 3 ), ( 9 = 3^2 ).
Do đó:
[ y^2 – 6y + 9 = y^2 – 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y – 3)^2. ]
3. Hiệu hai bình phương
Công thức:
[ A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) ]
Chứng minh:
[ (A – B)(A + B) = A(A + B) – B(A + B) = A^2 + AB – BA – B^2 = A^2 – B^2. ]
Ý nghĩa:
Hiệu của hai bình phương có thể phân tích thành tích của tổng và hiệu.
Ví dụ minh họa:
Tính ( 101^2 – 99^2 ).
[ 101^2 – 99^2 = (101 – 99)(101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400. ]
Bài tập áp dụng:
Phân tích ( 25x^2 – 16 ) thành nhân tử.
Lời giải:
Nhận thấy ( 25x^2 = (5x)^2 ), ( 16 = 4^2 ).
Do đó:
[ 25x^2 – 16 = (5x)^2 – 4^2 = (5x – 4)(5x + 4). ]
4. Lập phương của một tổng
Công thức:
[ (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 ]
Chứng minh:
[ (A + B)^3 = (A + B)(A + B)^2 = (A + B)(A^2 + 2AB + B^2) = A(A^2 + 2AB + B^2) + B(A^2 + 2AB + B^2) = A^3 + 2A^2B + AB^2 + A^2B + 2AB^2 + B^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3. ]
Ý nghĩa:
Lập phương của một tổng bao gồm lập phương từng số hạng, cộng với ba lần tích các lũy thừa bậc hai và bậc một.
Ví dụ minh họa:
Tính ( (x + 3)^3 ).
[ (x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27. ]
Bài tập áp dụng:
Viết ( x^3 + 12x^2 + 48x + 64 ) dưới dạng lập phương của một tổng.
Lời giải:
Nhận thấy ( x^3 = x^3 ), ( 12x^2 = 3 \cdot x^2 \cdot 4 ), ( 48x = 3 \cdot x \cdot 4^2 ), ( 64 = 4^3 ).
Do đó:
[ x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3x^2 \cdot 4 + 3x \cdot 4^2 + 4^3 = (x + 4)^3. ]
5. Lập phương của một hiệu
Công thức:
[ (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 ]
Chứng minh:
[ (A – B)^3 = (A – B)(A – B)^2 = (A – B)(A^2 – 2AB + B^2) = A(A^2 – 2AB + B^2) – B(A^2 – 2AB + B^2) = A^3 – 2A^2B + AB^2 – A^2B + 2AB^2 – B^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3. ]
Ý nghĩa:
Lập phương của một hiệu bao gồm lập phương của số hạng đầu, trừ ba lần tích các lũy thừa, cộng ba lần tích khác, trừ lập phương của số hạng thứ hai.
Ví dụ minh họa:
Tính ( (x – 3)^3 ).
[ (x – 3)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 – 3^3 = x^3 – 9x^2 + 27x – 27. ]
Bài tập áp dụng:
Viết ( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 ) dưới dạng lập phương của một hiệu.
Lời giải:
Nhận thấy ( x^3 = x^3 ), ( 9x^2 = 3 \cdot x^2 \cdot 3 ), ( 27x = 3 \cdot x \cdot 3^2 ), ( 27 = 3^3 ).
Do đó:
[ x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = x^3 – 3x^2 \cdot 3 + 3x \cdot 3^2 – 3^3 = (x – 3)^3. ]
6. Tổng hai lập phương
Công thức:
[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) ]
Chứng minh:
[ (A + B)(A^2 – AB + B^2) = A(A^2 – AB + B^2) + B(A^2 – AB + B^2) = A^3 – A^2B + AB^2 + A^2B – AB^2 + B^3 = A^3 + B^3. ]
Ý nghĩa:
Tổng hai lập phương được phân tích thành tích của tổng hai số hạng và một đa thức bậc hai.
Ví dụ minh họa:
Phân tích ( x^3 + 8 ).
[ x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – x \cdot 2 + 2^2) = (x + 2)(x^2 – 2x + 4). ]
Bài tập áp dụng:
Phân tích ( 8x^3 + 27 ) thành nhân tử.
Lời giải:
Nhận thấy ( 8x^3 = (2x)^3 ), ( 27 = 3^3 ).
Do đó:
[ 8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)((2x)^2 – 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x + 3)(4x^2 – 6x + 9). ]
7. Hiệu hai lập phương
Công thức:
[ A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2) ]
Chứng minh:
[ (A – B)(A^2 + AB + B^2) = A(A^2 + AB + B^2) – B(A^2 + AB + B^2) = A^3 + A^2B + AB^2 – A^2B – AB^2 – B^3 = A^3 – B^3. ]
Ý nghĩa:
Hiệu hai lập phương được phân tích thành tích của hiệu hai số hạng và một đa thức bậc hai.
Ví dụ minh họa:
Phân tích ( x^3 – 8 ).
[ x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = (x – 2)(x^2 + 2x + 4). ]
Bài tập áp dụng:
Phân tích ( 27x^3 – 1 ) thành nhân tử.
Lời giải:
Nhận thấy ( 27x^3 = (3x)^3 ), ( 1 = 1^3 ).
Do đó:
[ 27x^3 – 1 = (3x)^3 – 1^3 = (3x – 1)((3x)^2 + 3x \cdot 1 + 1^2) = (3x – 1)(9x^2 + 3x + 1). ]
Sơ đồ tư duy hằng đẳng thức đáng nhớ
Để dễ ghi nhớ, học sinh có thể sử dụng sơ đồ tư duy:
- Bình phương:
- Tổng: ( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ).
- Hiệu: ( (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 ).
- Hiệu hai bình phương: ( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) ).
- Lập phương:
- Tổng: ( (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 ).
- Hiệu: ( (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 ).
- Tổng và hiệu hai lập phương:
- Tổng: ( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) ).
- Hiệu: ( A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2) ).
Ứng dụng của hằng đẳng thức
- Rút gọn biểu thức: Biến đổi các biểu thức phức tạp thành dạng đơn giản hơn.
Ví dụ: ( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 ). - Phân tích đa thức: Tìm nhân tử để giải phương trình hoặc đơn giản hóa biểu thức.
Ví dụ: ( x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9) ). - Tính toán nhanh: Áp dụng để tính giá trị lớn mà không cần máy tính.
Ví dụ: ( 103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^2 = 10609 ). - Giải phương trình: Sử dụng để tìm nghiệm hoặc rút gọn phương trình.
Ví dụ: Giải ( x^2 – 4 = 0 ): ( (x – 2)(x + 2) = 0 \implies x = 2 ) hoặc ( x = -2 ).
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính giá trị
a) ( 102^2 ).
b) ( 98^2 ).
Lời giải:
a) ( 102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404 ).
b) ( 98^2 = (100 – 2)^2 = 100^2 – 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 – 400 + 4 = 9604 ).
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) ( 16x^2 – 9 ).
b) ( x^3 + 125 ).
Lời giải:
a) ( 16x^2 – 9 = (4x)^2 – 3^2 = (4x – 3)(4x + 3) ).
b) ( x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 – 5x + 25) ).
Bài 3: Viết dưới dạng hằng đẳng thức
a) ( 9x^2 + 6x + 1 ).
b) ( x^3 – 6x^2 + 12x – 8 ).
Lời giải:
a) ( 9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2 ).
b) ( x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3 = (x – 2)^3 ).
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
Chứng minh rằng ( (x + y)^2 – (x – y)^2 = 4xy ).
Lời giải:
Vế trái:
[ (x + y)^2 – (x – y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) – (x^2 – 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 – x^2 + 2xy – y^2 = 4xy. ]
Vế phải: ( 4xy ).
Do đó: ( (x + y)^2 – (x – y)^2 = 4xy ).
Mẹo học và ghi nhớ
- Ghi nhớ công thức: Sử dụng mẹo liên tưởng, ví dụ: “Bình phương tổng có dấu cộng, bình phương hiệu có dấu trừ”.
- Sơ đồ tư duy: Vẽ sơ đồ chia thành hai nhánh: bình phương (3 công thức) và lập phương (4 công thức).
- Luyện tập thường xuyên: Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhanh hoặc phân tích đa thức.
- Kiểm tra kết quả: Thay số cụ thể vào để kiểm tra xem hai vế của hằng đẳng thức có bằng nhau không.
Ví dụ: Với ( (A + B)^2 ), thay ( A = 2 ), ( B = 3 ):
Vế trái: ( (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 ).
Vế phải: ( 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25 ).
Kết luận
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong Toán 8 (Cánh Diều) là công cụ quan trọng giúp học sinh đơn giản hóa biểu thức, phân tích đa thức và giải các bài toán đại số. Nắm vững công thức, hiểu cách chứng minh và luyện tập qua ví dụ, bài tập sẽ giúp bạn thành thạo nội dung này. Hãy nhớ: hằng đẳng thức là “chìa khóa” để mở ra nhiều bài toán thú vị
Xem thêm:
- Hành Tinh Đôi Đông Chí & chúng hoạt động ra sao?
- Mặt Trời mọc ở hướng nào? Lặn hướng nào? Cùng tìm hiểu và khám phá
- Cách dùng “cho nên” và “cho lên” chuẩn nhất
- Cách dùng “xẻ” và “sẻ” chuẩn nhất
- Lý thuyết công và công suất: Giải thích dễ hiểu
- Lý thuyết quyền công dân và nghĩa vụ cơ bản của công dân (GDCD 6)
- 50 bài tập đạo hàm cơ bản theo quy tắc có lời giải
