50 bài tập đạo hàm cơ bản theo quy tắc có lời giải

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp tìm tốc độ thay đổi của hàm số và áp dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kinh tế, kỹ thuật. Để nắm vững cách tính đạo hàm, việc luyện tập với các bài tập cơ bản theo quy tắc là rất cần thiết. Bài viết này cung cấp 50 bài tập đạo hàm cơ bản, kèm lời giải chi tiết.

Các quy tắc đạo hàm cơ bản

Trước khi làm bài tập, hãy ôn lại các quy tắc đạo hàm cơ bản:

1. Đạo hàm của hằng số: ( f(x) = c \implies f'(x) = 0 ).
2. Đạo hàm của hàm lũy thừa: ( f(x) = x^n \implies f'(x) = n x^{n-1} ).
3. Đạo hàm của tổng/hiệu: ( f(x) = u(x) \pm v(x) \implies f'(x) = u'(x) \pm v'(x) ).
4. Đạo hàm của tích: ( f(x) = u(x) \cdot v(x) \implies f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) ).
5. Đạo hàm của thương: ( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \implies f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} ).
6. Đạo hàm của hàm hợp: ( f(x) = g(h(x)) \implies f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) ).
7. Đạo hàm của các hàm số cơ bản:
   • ( f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x ).
   • ( f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x ).
   • ( f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x ).
   • ( f(x) = \ln x \implies f'(x) = \frac{1}{x} ).

50 bài tập đạo hàm cơ bản và lời giải

Dưới đây là 50 bài tập được chia thành các nhóm theo mức độ từ dễ đến trung bình, sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản. Mỗi bài kèm lời giải chi tiết.

Nhóm 1: Đạo hàm của hàm lũy thừa và hằng số (10 bài)

Bài 1: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 5 ).
Lời giải:
Hàm số là hằng số, nên:
[ f'(x) = 0. ]

Bài 2: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^3 ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm lũy thừa (( (x^n)’ = n x^{n-1} )):
[ f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2. ]

Bài 3: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2x^4 ).
Lời giải:
Hằng số 2 nhân với đạo hàm của ( x^4 ):
[ f'(x) = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3. ]

Bài 4: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{1}{x^2} ).
Lời giải:
Viết lại ( f(x) = x^{-2} ), áp dụng quy tắc lũy thừa:
[ f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}. ]

Bài 5: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \sqrt{x} ).
Lời giải:
Viết lại ( f(x) = x^{1/2} ), áp dụng quy tắc lũy thừa:
[ f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}. ]

Bài 6: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 3x^5 ).
Lời giải:
[ f'(x) = 3 \cdot 5x^{5-1} = 15x^4. ]

Bài 7: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{4}{x} ).
Lời giải:
Viết lại ( f(x) = 4x^{-1} ):
[ f'(x) = 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}. ]

Bài 8: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^{2/3} ).
Lời giải:
[ f'(x) = \frac{2}{3}x^{2/3-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}. ]

Bài 9: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 7x^{-3} ).
Lời giải:
[ f'(x) = 7 \cdot (-3)x^{-3-1} = -21x^{-4} = -\frac{21}{x^4}. ]

Bài 10: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2\sqrt{x} ).
Lời giải:
Viết lại ( f(x) = 2x^{1/2} ):
[ f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}. ]

Nhóm 2: Đạo hàm của tổng và hiệu (10 bài)

Bài 11: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^2 + 3x ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tổng:
[ f'(x) = (x^2)’ + (3x)’ = 2x + 3. ]

Bài 12: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 4x^3 – 2x^2 ).
Lời giải:
[ f'(x) = (4x^3)’ – (2x^2)’ = 4 \cdot 3x^2 – 2 \cdot 2x = 12x^2 – 4x. ]

Bài 13: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^4 + 5x – 7 ).
Lời giải:
[ f'(x) = (x^4)’ + (5x)’ – (7)’ = 4x^3 + 5 – 0 = 4x^3 + 5. ]

Bài 14: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2x^5 – 3x^2 + 1 ).
Lời giải:
[ f'(x) = (2x^5)’ – (3x^2)’ + (1)’ = 2 \cdot 5x^4 – 3 \cdot 2x + 0 = 10x^4 – 6x. ]

Bài 15: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{1}{x} + x^3 ).
Lời giải:
Viết lại ( \frac{1}{x} = x^{-1} ):
[ f'(x) = (x^{-1})’ + (x^3)’ = -x^{-2} + 3x^2 = -\frac{1}{x^2} + 3x^2. ]

Bài 16: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 3x^2 – \frac{2}{x^3} ).
Lời giải:
Viết lại ( \frac{2}{x^3} = 2x^{-3} ):
[ f'(x) = (3x^2)’ – (2x^{-3})’ = 3 \cdot 2x – 2 \cdot (-3)x^{-4} = 6x + \frac{6}{x^4}. ]

Bài 17: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^4 + 2\sqrt{x} – 5 ).
Lời giải:
Viết lại ( \sqrt{x} = x^{1/2} ):
[ f'(x) = (x^4)’ + (2x^{1/2})’ – (5)’ = 4x^3 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} – 0 = 4x^3 + \frac{1}{\sqrt{x}}. ]

Bài 18: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2x – \frac{3}{x^2} + 4 ).
Lời giải:
Viết lại ( \frac{3}{x^2} = 3x^{-2} ):
[ f'(x) = (2x)’ – (3x^{-2})’ + (4)’ = 2 – 3 \cdot (-2)x^{-3} + 0 = 2 + \frac{6}{x^3}. ]

Bài 19: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^3 + x^2 – x + 1 ).
Lời giải:
[ f'(x) = (x^3)’ + (x^2)’ – (x)’ + (1)’ = 3x^2 + 2x – 1 + 0 = 3x^2 + 2x – 1. ]

Bài 20: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 5x^4 – 2x^3 + x – \frac{1}{x} ).
Lời giải:
Viết lại ( \frac{1}{x} = x^{-1} ):
[ f'(x) = (5x^4)’ – (2x^3)’ + (x)’ – (x^{-1})’ = 5 \cdot 4x^3 – 2 \cdot 3x^2 + 1 – (-x^{-2}) = 20x^3 – 6x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}. ]

Nhóm 3: Đạo hàm của tích và thương (10 bài)

Bài 21: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^2 \cdot (2x + 3) ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích (( (u \cdot v)’ = u’v + uv’ )):

• Đặt ( u = x^2 \implies u’ = 2x ), ( v = 2x + 3 \implies v’ = 2 ).
  [ f'(x) = 2x \cdot (2x + 3) + x^2 \cdot 2 = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 + 2x^2 = 4x^2 + 6x + 2x^2 = 6x^2 + 6x. ]

Bài 22: Tìm đạo hàm của ( f(x) = (3x – 1)(x^2 + 2) ).
Lời giải:

• Đặt ( u = 3x – 1 \implies u’ = 3 ), ( v = x^2 + 2 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = 3 \cdot (x^2 + 2) + (3x – 1) \cdot 2x = 3x^2 + 6 + 6x^2 – 2x = 9x^2 – 2x + 6. ]

Bài 23: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc thương (( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} )):

• Đặt ( u = x^2 \implies u’ = 2x ), ( v = x + 1 \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = \frac{2x \cdot (x + 1) – x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}. ]

Bài 24: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x \cdot (x^3 – 2x) ).
Lời giải:

• Đặt ( u = x \implies u’ = 1 ), ( v = x^3 – 2x \implies v’ = 3x^2 – 2 ).
  [ f'(x) = 1 \cdot (x^3 – 2x) + x \cdot (3x^2 – 2) = x^3 – 2x + 3x^3 – 2x = 4x^3 – 4x. ]

Bài 25: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} ).
Lời giải:

• Đặt ( u = 2x \implies u’ = 2 ), ( v = x^2 + 1 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}. ]

Bài 26: Tìm đạo hàm của ( f(x) = (x^2 + 1)(x – 2) ).
Lời giải:

• Đặt ( u = x^2 + 1 \implies u’ = 2x ), ( v = x – 2 \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = 2x \cdot (x – 2) + (x^2 + 1) \cdot 1 = 2x^2 – 4x + x^2 + 1 = 3x^2 – 4x + 1. ]

Bài 27: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{x}{x – 1} ).
Lời giải:

• Đặt ( u = x \implies u’ = 1 ), ( v = x – 1 \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = \frac{1 \cdot (x – 1) – x \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{x – 1 – x}{(x – 1)^2} = \frac{-1}{(x – 1)^2}. ]

Bài 28: Tìm đạo hàm của ( f(x) = (2x + 3)(x^2 – 4) ).
Lời giải:

• Đặt ( u = 2x + 3 \implies u’ = 2 ), ( v = x^2 – 4 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = 2 \cdot (x^2 – 4) + (2x + 3) \cdot 2x = 2x^2 – 8 + 4x^2 + 6x = 6x^2 + 6x – 8. ]

Bài 29: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{x^3}{x + 2} ).
Lời giải:

• Đặt ( u = x^3 \implies u’ = 3x^2 ), ( v = x + 2 \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x + 2) – x^3 \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{3x^3 + 6x^2 – x^3}{(x + 2)^2} = \frac{2x^3 + 6x^2}{(x + 2)^2}. ]

Bài 30: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^2 \cdot (x^2 + x) ).
Lời giải:

• Đặt ( u = x^2 \implies u’ = 2x ), ( v = x^2 + x \implies v’ = 2x + 1 ).
  [ f'(x) = 2x \cdot (x^2 + x) + x^2 \cdot (2x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x^3 + x^2 = 4x^3 + 3x^2. ]

Nhóm 4: Đạo hàm của hàm lượng giác (10 bài)

Bài 31: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \sin x ).
Lời giải:
[ f'(x) = \cos x. ]

Bài 32: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 3\cos x ).
Lời giải:
[ f'(x) = 3 \cdot (-\sin x) = -3\sin x. ]

Bài 33: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \sin x + \cos x ).
Lời giải:
[ f'(x) = (\sin x)’ + (\cos x)’ = \cos x – \sin x. ]

Bài 34: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2\sin x – 3\cos x ).
Lời giải:
[ f'(x) = 2 \cdot \cos x – 3 \cdot (-\sin x) = 2\cos x + 3\sin x. ]

Bài 35: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x \sin x ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích:

• Đặt ( u = x \implies u’ = 1 ), ( v = \sin x \implies v’ = \cos x ).
  [ f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x. ]

Bài 36: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \cos x \cdot x^2 ).
Lời giải:

• Đặt ( u = \cos x \implies u’ = -\sin x ), ( v = x^2 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = (-\sin x) \cdot x^2 + \cos x \cdot 2x = -x^2 \sin x + 2x \cos x. ]

Bài 37: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{\sin x}{x} ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc thương:

• Đặt ( u = \sin x \implies u’ = \cos x ), ( v = x \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = \frac{\cos x \cdot x – \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x – \sin x}{x^2}. ]

Bài 38: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \sin x \cdot \cos x ).
Lời giải:

• Đặt ( u = \sin x \implies u’ = \cos x ), ( v = \cos x \implies v’ = -\sin x ).
  [ f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x – \sin^2 x. ]

Bài 39: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2x + \sin x ).
Lời giải:
[ f'(x) = (2x)’ + (\sin x)’ = 2 + \cos x. ]

Bài 40: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{\cos x}{x^2} ).
Lời giải:

• Đặt ( u = \cos x \implies u’ = -\sin x ), ( v = x^2 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = \frac{(-\sin x) \cdot x^2 – \cos x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x^2 \sin x – 2x \cos x}{x^4} = -\frac{x \sin x + 2 \cos x}{x^3}. ]

Nhóm 5: Đạo hàm của hàm số mũ và logarit (10 bài)

Bài 41: Tìm đạo hàm của ( f(x) = e^x ).
Lời giải:
[ f'(x) = e^x. ]

Bài 42: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 2e^x ).
Lời giải:
[ f'(x) = 2 \cdot e^x = 2e^x. ]

Bài 43: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \ln x ).
Lời giải:
[ f'(x) = \frac{1}{x}. ]

Bài 44: Tìm đạo hàm của ( f(x) = 3\ln x ).
Lời giải:
[ f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}. ]

Bài 45: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x e^x ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích:

• Đặt ( u = x \implies u’ = 1 ), ( v = e^x \implies v’ = e^x ).
  [ f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + x e^x = e^x (1 + x). ]

Bài 46: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{e^x}{x} ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc thương:

• Đặt ( u = e^x \implies u’ = e^x ), ( v = x \implies v’ = 1 ).
  [ f'(x) = \frac{e^x \cdot x – e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x (x – 1)}{x^2}. ]

Bài 47: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \ln x + e^x ).
Lời giải:
[ f'(x) = (\ln x)’ + (e^x)’ = \frac{1}{x} + e^x. ]

Bài 48: Tìm đạo hàm của ( f(x) = x^2 \ln x ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích:

• Đặt ( u = x^2 \implies u’ = 2x ), ( v = \ln x \implies v’ = \frac{1}{x} ).
  [ f'(x) = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x. ]

Bài 49: Tìm đạo hàm của ( f(x) = e^x \cos x ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc tích:

• Đặt ( u = e^x \implies u’ = e^x ), ( v = \cos x \implies v’ = -\sin x ).
  [ f'(x) = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x (\cos x – \sin x). ]

Bài 50: Tìm đạo hàm của ( f(x) = \frac{\ln x}{x^2} ).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc thương:

• Đặt ( u = \ln x \implies u’ = \frac{1}{x} ), ( v = x^2 \implies v’ = 2x ).
  [ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 – \ln x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x – 2x \ln x}{x^4} = \frac{1 – 2 \ln x}{x^3}. ]

Mẹo làm bài tập đạo hàm

• Nhận diện quy tắc: Xác định hàm số thuộc loại nào (lũy thừa, tổng, tích, thương, lượng giác, mũ, logarit) để áp dụng quy tắc phù hợp.
• Viết lại hàm số: Biến đổi hàm số về dạng đơn giản (ví dụ: ( \frac{1}{x^2} = x^{-2} )) để dễ tính đạo hàm.
• Kiểm tra kết quả: Đảm bảo đơn vị và dạng của đạo hàm hợp lý, đặc biệt với các hàm phức tạp.
• Luyện tập thường xuyên: Làm nhiều bài tập để quen với các quy tắc và tăng tốc độ giải.

Kết luận

50 bài tập trên giúp bạn nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, từ hàm lũy thừa, tổng, tích, thương đến lượng giác và mũ/logarit. Mỗi bài đều có lời giải chi tiết, giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng quy tắc và tránh sai sót. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo đạo hàm, nền tảng quan trọng cho giải tích và các ứng dụng thực tế. Chúc bạn học tốt!

Xem thêm:

• Hành Tinh Đôi Đông Chí & chúng hoạt động ra sao?
• Mặt Trời mọc ở hướng nào? Lặn hướng nào? Cùng tìm hiểu và khám phá
• Cách dùng “cho nên” và “cho lên” chuẩn nhất
• Cách dùng “xẻ” và “sẻ” chuẩn nhất
• Lý thuyết công và công suất: Giải thích dễ hiểu